Die Frage verstehe ich auch nicht recht. Ja, das ist das mit Orts- und Richtungsvektor. Die Gerade ist gegeben durch alle Punkte
x = a + r*b, a, b Vektoren, r eine reellet Zahl ... Was soll man da viel erklären?
-Auf welche Weise kann man eine Ebene in ein dreidimesionales Koordinatensystem einzeichnen? (??)
Hm ... vielleicht indem man ihre Schnittgeraden mit den Ebenen x=0, y=0, z=0 darstellt? Das dreidimensionale Koordinatensystem ist ja eine Projektion. Hm, sehr schwammig ...
Analysis:
- Minimale und maximale Anzahl von Null-, Extrem und Wendestellen bei ganzrationalen Funktionen?
Ist n der Grad der Funktion (also das maximale n, so daß man die Funktion als
an * x^n + ...+ a2 * x² + a1 * x + a0 (an ungleich 0)
schreiben kann, so ist die maximale Anzahl der Nullstellen n, weil man das Polynom schreiben kann als an * (x-x0) * (x-x1) * .... * (x-xn);
die xn sind in diesem Fall komplexe Zahlen und nicht unbedingt geschlossen berechenbar, aber sie existieren. Sie Anzahl der reellen davon ist die Zahl der Nullstellen.
Ist der Grad ungerade, so gibt es mindestens eine Nullstelle, sonst evebtuell gar keine.
Der Grad der Ableitung ist um 1 nierdriger, also gibt es maximal (n-1) Extrema; Wendepunkte (= einfache Nullstellen der 2. Ableitung) entsprechend n-2.
- Notwendige und hinreichende Bedingungen für Extremstellen?
Bei differenzierbaren Funktionen, nehme ich an.
Notwendig: Die Ableitung muß 0 sein.
Hinreichend: Die Ableitung muß in dieser Stelle einen Vorzeichenwechsel haben: Es muß also eine einfache, dreifache, fünffache ... Nullstelle sein.
- Praktische Beispiele für erste und zweite Ableitung?
??? Was ist gemeint? eine physikalische Anwendung? Ableitungen sind doch immer sehr praktisch
...
Aber bei einer Bewegung ist zum Beispiel die Geschwindigkeit die Ableitung, die Beschleunigung die 2. Ableitung.
- Unterschied zwischen Integration und Flächenberechnung? (Also bei der Frage versteh ich einfach nicht worauf die hinaus wollen o.O!!)
Naja, Flächenberechnung ist halt nur ein Spezialfall für das, was man mit Integration machen kann. Integrieren heißt ja, man kennt die Ableitung von irgendwas und will wissen, wohin man nach einer gewissen Zeit gelangt ist mit seiner Funktion. Um das physikalische Beispiel der vorigen Frage aufzugreifen: Wenn Du weißt, wo du losfährst und mit welcher Geschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt, dann kannst Du ausrechnen, wo Du nach einer Stunde bist.
- Hat jede Funktion eine Stammfunktion/Sind Stammfunktionen eindeutig bestimmt?
Nein, nicht jede. Aber um zu sagen, welche nicht, braucht man ein bißchenmehr Theorie. Es gibt die mathematische Diszißlin der Maßtheorie - und die ist gar nicht so leicht ... Jedenfalls muß eine Funktion "meßbar" sein, um eine Stammfunktion zu haben.
Aber alle Schulfunktionen haben diese Eigenschaft. Stetigkeit genügt zum Beispiel.
Man kann aber nicht alle Stammfunktionen geschlossen angeben. Manche Integrale lassen sich nur numerisch lösen.
Und wenn es eine gibt, dann ist sie bis auf eine Konstante eindeutig bestimmt, das heißt, ist F eine Stammfunktion zu f, so auch jede Funktion F+c für eine Konstante c.
- Warum ist ein Kreis nicht Schaubild einer Funktion?
Weil eine Funktion jedem Punkt aus der Definitionsmenge höchstens einen aus dem Wertebereich zuordnet. Und beim Kreis liegen immer (naja ..) zwei Punkte übereinander ...
- Woran kann man Symmetrie erkennen und womit hängt diese zusammen?
Wischiwaschi ... Was eißt woran kann man sie erkennen?
Ist die Definition gefragt? Eine Funktion ist achssymmetrisch, wenn es ein a gibt, so daß für alle x gilt f(x-a) = f(x+a); punktsymmetrisch, wenn es a, b gibt mit f(x+a) = b + f(x-a).
